Часть 8. Башня не из слоновой кости

Дорогие читатели нашей рубрики, участники нашей Олимпиады со «стажем» и те, кто впервые решил прочитать! В преддверии нового учебного года наверняка вы (ну или ваши друзья) уже с замиранием сердца ждут, какие еще зубодробительные задачки по математике предложат вам ваши учителя. Мы, следуя заветам Наполеона (см. прошлую статью), наносим упреждающий удар по «проблемам тысячелетия» для учеников.

Советуем вам сосредоточиться и получить удовольствие от процесса и результатов! Представьте, что на протяжении всей истории человечества все ученики и учителя всех народов (а не только конкретно вы) мучились или наслаждались после побед над трудностями в изучении этой не только самой древней из наук, но и самой вечно юной. Все учителя жаловались что де «уровень знаний и навыков по математике неуклонно снижается», «преподаватели все хуже и хуже знают свои точные предметы» и т.д. Так что это – не только «беловская» или российская тенденция, но и общемировая.

В наше время множества соблазнов и виртуальных тоже все труднее погружаться в решения математических задач, но честь и хвала тем, кто упражняет свой мозг. Ведь мы - это наш Мозг. Надо развивать его и тренировать, порой подвергая испытаниями по-взрослому! Но выручает то, что сам предмет математики (до сих пор нет единого мнения: что это за наука такая или деятельность?) допускает-таки элементарные объяснения, очень наглядные «картинки» действительности и неожиданные интерпретации, казалось бы, абстрактных и заумных вещей. Широко известны, например, пять «доказательств» существования Бога у Фомы Аквинского, переведшего в теологию искусство логических заключений.

Религиозные верования, надо сказать, были отличным катализатором (а не только тормозом как общепринято судить) зарождения научных знаний. Например, пифагорейская школа, в большой степени носящая мистический характер, придавала числам высший мистический смысл, давала определение совершенного числа. Можно сказать, что, конечно, рождалось и много «хлама», а с другой стороны, люди, чувствующие внутреннюю красоту математических фактов и законов, имеют право на такие издержки популяризации. Сколько людей вначале лишь религиозно мистически относящихся к пифагоровым тройкам, дружественным числам и т.д., затем всерьез занимались исследованиями этой царицы наук, и вообще всей математики?!

Невзирая на то, что научные факты появлялись задолго до эллинизма, систематической наука стала лишь с появлением трудов античных классиков. В какой то степени многие настоящие математики, занимаясь исследованиями, представляют мир чистых эйдосов Платона в виде прямых, точек, плоскостей, натуральных чисел, групп, колец хотя понятно же, что они не существуют в природе в чистом виде. Но затем, с непостижимой эффективностью (по Юджину Вигнеру) вылезающим в таких отделах физики и других областях знаний о предметном мире, что поневоле чувствуешь их мистический характер.

Великий русский и советский инженер-архитектор Шухов использовал важные геометрические факты тех же греков (уже открытые ими, Аполонний, например), а именно конические сечения, свойства однополостных гиперболоидов при сооружении Останкинской башни, водонапорных сооружений и т.д. Взгляните, кстати, на Эйфелеву, Останкинскую и башню в Гуанчжоу (КНР, год открытия 2009 г.), везде видим однополостный гиперболоид. Причем это решение принесло красоту, удобство, скорость и экономию в построении.
Вообще, радость математического открытия невозможно описать, это надо пережить самому! Как же простому смертному объяснить то, что взрослый человек после доказательства теоремы принес в жертву сто быков (практически не вызывает сомнений, что теорему Пифагор узнал из стран Ближнего Востока, но лишь привел строгое доказательство). Видите, как непросто порой бывало древнегреческим олимпийским чемпионам по боксу (привет, кстати, ботаникам, считающим, что сила есть - ума не надо) доказывать что-либо. Пытайтесь доказывать, и вы поймете, что не хватает не только логических навыков, но и воображения.

Гильберт, великий немецкий математик, сказал после того, как ему сообщили, что его ученик ушел из математиков в поэты: «Конечно, для математика у него было слишком мало воображения!» Вообще, даже троечник в институте может вычислять интеграл (например, для площади) на что у греков уходили часы (по всей видимости) построений. Но из-за них человечество продвинулось настолько, что любой интеграл с требуемой точностью Ньютон смог вычислить за «половину четверти часа». Но потому, что стоял «на плечах гигантов», а кроме того «думал о предмете постоянно». Приведу одну из самых красивых задач, недоступной для решения, хотя условие поймет и 11-летний ребенок! Вначале будут определения и введение в тему, потом вопрос.

Задача. Совершенным числом называется число, равное сумме своих делителей, кроме него самого. Например, делители числа 2 – это числа 2 и 1. У числа 4 три делителя 1, 2 и 4 (на них четверка делится без остатка). Число 6 – самое маленькое совершенное число, ведь 6=1+2+3 (равно сумме всех своих делителей, меньших самого числа). Ведь понятно, ни у кого нет сомнений, что 6 делится на 1, на 2 и на 3 (!). Следующим совершенным числом будет 28= 1+2+4+7+14. Потом идет 496 (желающие, проверьте! Вышлите ко мне на почту или в редакцию), затем 8128.

А теперь внимательно, вопрос, о котором еще знал Евклид! Существуют ли нечетные совершенные числа? До сих пор не найдено ни одного, невзирая на мощь компьютера и развитие алгоритмов. Но, главное, не доказано, что их не существует! Займитесь этой проблемой, мне интересно будет услышать ваши мнения и поделиться своими. Всемирная известность гарантируется даже при частичных продвижениях!

Ждем ваших ответов и соображений относительно задач «Беловской высоты». По просьбе одного из наших лидеров, Каргина Александра, находящегося в летней физико-математической школе в Академгородке, окончательные итоги подведем через две недели. Привет Академгородку и Дмитрию Демину – студенту первого курса НГУ. Ждем его дальнейшей активности (хвост лидеров надо покидать!).

Приведем некоторые соображения, которые помогут вам решить одну из задач «Высоты». Вот, например, как узнать, на какую цифру оканчивается 7⁸ ? Что-то неохота вычислять восемь умножений! Скажем без доказательств, что последняя цифра произведения двух чисел определяется последними цифрами сомножителей. Например, 189041*17891 закончится на 1, так как 1*1=1. А, например, 12347*65439 закончится на 3, так как 7*9= 63. Кто не верит, тот может выполнить умножения полностью. 7*7=49 (на конце 9), 9*7=63 (на конце 3), 3*7=21 (на конце 1), 1*7=7, 7*7=49 (на конце 9).

Имеем цепочку последних цифр степеней семерки: 7→9→3→1→7. Дальше начинает повторяться. Длина наименьшего периода равна 4. То есть, через каждые четыре умножения на 7 последняя цифра повторяется. В самом деле, начиная от первой степени, он проведет четыре возведения, получим 1. Потом опять 4 возведения, получим опять 1. Ответ: на 1.

Возьмем теперь 7 в степени 121. Сколько полных четверок и остаток в 121 при делении на 4. Понятно, что остаток при делении 121 на 4 равен 1. Следовательно, из цепочки видно, что будет 7 на конце. Ответ: на 7.

Э.В. Саркисян,
тренер по олимпиадной математике,
e-mail:Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.,
тел. 8-906-923-50-59

Продолжение следует.